Tugas Matriks dan Vektor (Ruang Vektor Umum)

Ruang vektor umum

Diketahui matriks A yaitu :

  

Maka tentukanlah

1.            Tentukan vektor baris dan vektor kolom dari A.

                Jawab :

·         Vektor Baris

= (1,2,3), dan

·         Vektor Kolom

, dan

2.            Tentukan Basis dan dimensi ruang kolom dai A.

                Jawab :

                         . Bilangan satu (1) utama di semua kolom maka basis

                Dari  ruang kolom adalah .

3.            Tentukan Basis dan dimensi ruang baris dari A.

                Jawab :

                                . Bilangan satu utama terletak pada kolom 1, 2, dan 3. Oleh karena itu vektor kolom ke 1, 2, dan 3 emrupakan unsur basis dari ruang kolom dari A^t. Jadi baris ke-1, 2, dan 3 merupakan unsur baris ruang baris dari A, yaitu . Dimensi ruang baris A sama dengan 3.

4.            Tentukanlah Basis dari ruang yang direntang oleh vektor berikut : dan

                Jawab :

                            . Satu utama terletak dikolom 1 dan 2. Basis dari ruang kolom A sama dengan basis dari ruang yang direntang oleh ketiga vektor terebut, yaitu :

                Soal 5 dan 6. Diketahui T : R³ → R³ yang dirumuskan oleh T(x,y,z) = (x – y + 3z, 5x + 6y – 4z, 7x + 4y + 2z). Tentukan:

5.                     Tentukan rank !

                        Jawab :

            Bentuk matriks Tdiubah menjadi  ®  ® .

Jadi basis R(T) adalah {(1,5,7),(0,1,1)}, akibatnya rank T = 2.

6.                     Tentukan nulitas T !

                        Jawab :

                              .   Ambil sebarang vektor (x,y,z) di ker(T), maka T(x,y,z) = (0,0,0).

Didapat (x – y + 3z, 5x + 6y – 4z, 7x + 4y + 2z) = (0,0,0).

            x – y + 3z = 0

5x + 6y – 4z = 0

7x + 4y + 2z = 0

Bentuk matriks dari sistem persamaan tersebut adalah:

® ®

     ®

Diperoleh:       x + z = 0

                        y – z = 0

Misal z = t, maka x = -t dan y = t

Penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah:

            x = -t;  y = t; dan z = t

sehingga (x,y,z) = . Hal Ini berarti  pembangun ker(T) dan vektor  bebas linear.

Jadi  basis untuk ker (T), sehingga nulitas T = 1.

Dari a dan b didapat rank T = 2; nulitas T  = 1; dimensi R³ = 3, dan terpenuhi bahwa rank T + nulitas T = dimensi R³.

7.         Tentukan apakah (1,2,1), (2,5,0) v1 = v2 = dan v3 = (3,3,8) membangun di R³

            Jawab :

            Untuk menyelidiki vektor di atas membangun di 3 R maka harus  diselidiki untuk sembarang vektor b = (b₁, b₂, b₃) pada R³ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari ketiga vektor di atas, sehingga diperoleh :

(b₁, b₂, b₃) = k₁ (1, 2, 1) + k₂ (2, 5, 0) + k₃(3, 3, 8) atau

(b₁, b₂, b₃) = (k₁+2k₂+3k₃,2k₁+5k₂+3k₃,k₁+8k₃)

Dalam bentuk SPL :

            k₁+2k₂+3k₃ = b₁

2k₁+5k₂+3k₃ = b₂

k₁+8k₃ = b₃

8.         sebutkan sifat sifat yang harus dipenuhi dalam ruang vektor !

            Jawab :

-          Sifat perkalian dengan skalar

-          Ekstensi invers penjumlahan

-          Ekstensi elemen nol

-          Kumulatif terhadap penjumlahan

-          Assosiatif terhadap penjumlahan

9.         Diketahui verktor vektor u = (1,2,-1) dan v = (6,4,2) di R³ Tunjukkan w = (9,2,7) merupakan hasil kombinasi linier u dan v serta z = (4, -1, 8) bukan merupakan kombinasi linier u dan v.

            Jawab :

            Agar w merupakan kombinasi linier u dan v, maka harus ada skalar k₁ dan k₂ sedemikian hingga w = k₁u + k₂v

            (9,2,7) = k₁(1,2,-1) + k₂(6,4,2) atau

            (9,2,7) = (k₁+6k₂, 2k₁+ 4k₂,-k₁+2k₂)

            Penyamaan komponen –komponen yang bersesuaian mengasilkan :

            k₁+6k₂ = 9

            2k₁+ 4k₂ = 2

                  -k₁+2k₂ = 7

                  Sistem ini menghasilkan k₁ = -3, k₂ = 2, sehingga w = -3u+2v

 untuk w” yang merupakan kombinasi linier u dan v harus ada skalar k₁ dan k₂ sehingga a w" =  k₁ u + k₂ u yaitu :

                  (4, -1, 8) = k₁ (1, 2, -1) + k₂ (6, 4, 2)

10.       Himpunan V dengan unsur x,y yang dilengkapi dengan operasi tambah (+) disebut dengan ?

                  Jawab : Ruang vektor real V